有限生成アーベル群の基本定理 - 数と符号と計算機と日記

群論の重要な定理の一つに，「有限生成アーベル群の基本定理」というものがある．

これは群が有限生成ならば，それと同形な，いくつかの群の直和によって定義される群が一意に定まるというものらしい(合ってるかな？)．

で，一意に定まるということで，不変量というものがそこから定義されているのだが，そのうちの一つの「定め方」がよく分からない．

$t$ を階数として， $(t, e_1, \ldots, e_s)$ ．ここで $i = 1, \ldots, s - 1$ として $e_{i} \mid e_{i + 1}$ という「定め方」である．

これって仮に $n, m$ を1より大きい整数として，位数が $n^m$ の群と同形なものを考えたら，複数の表現が出てきちゃうんじゃないかなぁーと…

ここでもしも $e_i$ に対して「2べき以上の因子を含まない」という条件が付くと，確かに一意だと思うんだけど…

何か勘違いしてる？

やっぱり勘違いっぽいな．

$\mathbb{Z}_n \oplus \mathbb{Z}_n$ はn倍すれば必ず0だろうけど， $\mathbb{Z}_{n^2}$ は違うんじゃないかな，ということで．

しかしそうすると，もう一つの方は位数が互いに素，つまり細かく素数べき位数の群の直和として表現するものだけど，こちらの方は普通に素数べきになっちゃうような…

結構基本的なところは詰めていないなー

うーん…

さっと文献を洗ってみると，どうやら「順序を無視した素数のべきによる剰余類の列」というものが無く，「可約関係で順序付けした剰余類の列」しか見当らない…

もしかしたら，あれは間違えていて，自分の呟きは合っているのかもしれないな…

中国人剰余定理では互いに素なものに分割してるけど，あれって「環同型」だよな，たぶん…